Himpunan < Semester 2 >

Bab 1 himpunan Presentation Transcript

• 1. I. Definisi himpunan• Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek yang berbeda.Untuk menyatakan, digunakan huruf KAPITAL seperti A, B, C, dsb.Untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan hurufkecil, seperti a,b,c, dsb.• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota• HIMATEK adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.26 January 2012 MATEMATIKA DISKRIT 2
• 2. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Contoh 1. - Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2,4, 6, 8, 10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } - C = {a, {a}, {{a}} } - K = { {} } - Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 } - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.26/01/2012 Heru Nugroho Politeknik Telkom 2009
• 3. 2. Simbol-simbol Baku P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.26/01/2012 Heru Nugroho Politeknik Telkom 2009
• 4. 3. Notasi Pembentuk HimpunanNotasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }Contoh 4.(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil dari 5 A = { x | x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau A = { x | x P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}26/01/2012 Heru Nugroho Politeknik Telkom 2009
• 5. 4. Diagram Venn Contoh 5. Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn: U A B 7 1 2 8 5 4 3 626/01/2012 Heru Nugroho Politeknik Telkom 2009
• 6. 1. A = {1, 3, 5, 7, 9, …} 2. B = {‘hafidz’, 20, ‘matematika’,2004} 3. C = {a, b, {a}, {b, c}, c, d, {e, 9}} 4. D = {x : x<15 2012="2012" 2x="2x" 5.="5." 5="0," 7="7" bilangan="bilangan" diskrit="diskrit" e="{x:" january="january" li="li" matematika="matematika" prima="prima" r="r" x2="x2" x="x">
• 7. Simbol digunakan untuk keanggotaan suatu elemen, dan untuk menyatakan bukan anggota digunakan . Jika C = {a, b, {a}, {b, c}, c, d, {e, 9}} Maka: a C, b C, e C, f C, {a} C, {e, 9} C {c} C, {d} C, {b} C, {b, c} C Banyaknya anggota dari suatu himpunan disebut bilangan kardinal. dinyatakan dengan n(C) atau |C| Jadi n(C) = 7 atau |C| = 726 January 2012 MATEMATIKA DISKRIT 8
• 8. HIMPUNAN SEMESTA: himpunan yang mencakup semua anggota yangsedang dibicarakan.HIMPUNAN KOSONG : adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.Himpunan kosong dinyatakan dengan simbol atau { }.Himpunan {0} bukan himpunan kosong, melainkan suatu himpunan yangmempunyai satu anggota yaitu bilangan nol.26 January 2012 MATEMATIKA DISKRIT 9
• 9. HIMPUAN YANG EKIVALENDua himpunan yang tidak kosong A dan B dikatakan ekivalen jikabanyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota B, ditulisdengan n(A) = n(B) ata |A| = |B|.Dua himpunan yang sama pasti ekivalen.DIAGRAM VENN (John Venn pada tahun 1881)Himpunan digambarkan dengan sebuah oval (tidak harus), dananggota-anggotanta digambarkan dengan sebuah noktah (titik) yangdiberi label, sedangkan himpunan semesta digambarkan dengan segiempat.26 January 2012 MATEMATIKA DISKRIT 10
• 10. Contoh-1 : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} A = {2,3,6,8,9,11} B S A B = {1,3,4,5,7,8} 1 9 2 3 4Simbol untuk keanggotaan 5 6 8Jadi: 2 A, 4 B 11 7 10 12 4 A, 9 B 3 A, 3 B 8 A, 8 B26 January 2012 MATEMATIKA DISKRIT 11
• 11. HIMPUNAN BAGIAN (SUB SET)Himpunan B dikatakan himpunan bagian dari himpunan A jika setiap x Bmaka x A , dinotasikan dengan B A .B A dibaca sebagai “B terkandung di dalam A”.Kita dapat juga menulis dengan A B , yang berarti A mengandung B.Contoh-2 : Jika A = {a, b, c}maka himpunan-himpunan bagiannya adalah:{ } Himpunan kosong{a}, {b}, {c} Himpunan yang terdiri atas satu anggota.{a,b}, {a,c}, {b,c} Himpunan yang terdiri atas dua anggota.{a,b,c} Himpunan yang terdiri atas tiga anggota.26 January 2012 MATEMATIKA DISKRIT 12
• 12. M A C Simbol himpunan Bagian A M B M C M B26 January 2012 MATEMATIKA DISKRIT 13
• 13. HIMPUNAN KUASA (Power set)Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yanganggotanya adalah semua himpunan bagian dari A, termasukhimpunan kosong dan himpunan A sendiri. Himpunan kuasadinotasikan dengan P(A) atau 2A .Contoh : Jika A = {a, b, 5}, maka himpunan kuasa dari A adalah P(A) = , {a}, {b}, {5}, {a, b}, {a,5}, {b,5}, {a, b,5}26 January 2012 MATEMATIKA DISKRIT 14
• 14. Definisi : A U B = { x | x A atau x B } A B Contoh-1 A = { 2, 3, 5, 7, 9} B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, } C = { 10, 11, 14, 15} D = { Anto, 14, L} E = {1, 2, 4 } Maka : A U B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} A U D = {2, 3, 5, 7, 9, Anto, 14, L} BUC = ? BUD = ? CUD =?26 January 2012 MATEMATIKA DISKRIT 15
• 15. Definisi : A B = {x|x A dan x B } A B Contoh : Maka : A = { 2, 3, 5, 7, 9} A B = {2, 5} B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, } E B = { 1,2 4} C = { 10, 11, 14, 15} A C={} A E = {2} D = { Anto, 14, L} D C = {14} E = {1, 2, 4 } A D={}26 January 2012 MATEMATIKA DISKRIT 16
• 16. Definisi : A – B = { x | x A dan x B} Contoh A = {2,3,4,6,7,9} A B B = {1,2,3,5,6,8,9,10} C = {3,5,9} Maka : A – B = {4,7} B – A = {1,5,8,10} A–C={ B–C={ C–B={26 January 2012 MATEMATIKA DISKRIT 17
• 17. Definisi: A B = { x | (x A atau x B) dan X (A B) } A B = (A U B) – (A B) A B A B = (A - B) U (B - A) Contoh:A = {1,2,3,5,6,8,9,10} ; B = {2,7,8,11} ; C = {1,3,5,7,9,11} ; D = {0,1,2,5,6,7,9,12}Maka : A B = {1, 2,3,5,6, 7, 8,9,10,11} = {1,3,5,6, 7, 9,10,11} B C = {1,2,3,5, 7,8,9, 11} = {1,2,3,5,8,9} A C = {1,2,3,5,6,7,8,9,10,11} = {2,6,7,8,10,11} A D = {0,1,2,3,5,6,7,8,9,10,12} = {0,3,7,8,10,12}26 January 2012 MATEMATIKA DISKRIT 18
• 18. Definisi : Ac = {x|x A dan x S } Ac Contoh : A A = { 2, 3, 5, 6, 8) ; B = {1, 2, 4, 6, 7, 9, 13} S = { x | x bilangan asli 14} S A B Maka : 4 13 5 6 Ac = { 1,4,7, 9,10,11,12,13,14} 7 10 8 2 Bc = {3,5, 8,11,12,14} 3 9 1 11 14 1226 January 2012 MATEMATIKA DISKRIT 19
• 19. Diberikan himpunan-himpunan berikut: A = { 1, 2, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 15, 18, 20 } B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13 } C = { 1, 2, 3, 6, 8, 9, 10, 13, 17, 18 } S = { x | x <= 20 , x bilangan asli } = Himpunan Semesta a. Gambarkan Diagram Venn himpunan-himpunan di atas dalam satu gambar. Tentukanlah : b. ( C B ) – ( A C ) c. ( A – B ) (C B) c d. ( C – A ) (C B) c e. A C) ( (B – C) A )
• 20. Dua Himpunan• Jika A dan B adalah himpunan-himpunan berhingga, maka A U B dan A B juga berhingga, dan | A U B | = |A| + |B| - | A B |• Banyaknya elemen hasil penggabungan dua himpunan A dan B sama dengan banyaknya elemen himpunan A ditambah dengan banyaknya elemen himpuanan B, dikurangi dengan banyaknya elemen hasil irisan A dan B
• 21. Tiga Himpunan• Jika A, B, dan C adalah himpunan-himpunan berhingga, maka| A U B U C | = |A| + |B| + |C| - |A B| - |A C| - |B C| + A B C |
• 22. Hasil survei terhadap 60 orang pembaca koran, diperoleh data sbb.:• 25 orang membaca Kompas• 26 orang membaca Merdeka• 26 orang membaca Bola• 9 orang membaca Kompas dan Bola• 11 orang membaca Kompas dan Merdeka• 8 orang membaca Merdeka dan Bola• 3 orang membaca Ketiganya.Tentukan:a. Banyaknya orang yang membaca paling sedikit satu buah koran.b. Gambarkan diagram Venn untuk masalah ini,c. Berapa orang yang membaca hanya satu koran.
• 23. Misal:A = Himpunan orang yg suka baca koran kompasB = Himpunan orang yg suka baca koran merdekaC = Himpunan orang yg suka baca koran bolaMaka|A| = 25 |A B|= 11 |A B C|= 3|B| = 26 |A C|= 9|C| = 26 |B C|= 8
• 24. a. |A B C| = |A| + |B| + |C| - |A B| - |A C| - |B C| + A B C | = 25 + 26 + 26 - 11 – 9 – 8 + 3 = 52
• 25. A B 11 13 5 3 6 5b) |A| = 25 |A B|= 11 8 10 C|B| = 26 |A C|= 9|C| = 26 |B C|= 8 |A B C|= 3• Baca kompas & merdeka tidak Bola = 11 – 3 = 8• Baca kompas & bola tidak merdeka = 9 – 3 = 6• Baca merdeka & bola tidak kompas = 8 – 3 = 5• Baca kompas saja = 25 – 5 – 3 – 6 = 11• Baca merdeka saja = 26 – 5 – 3 – 5 = 13• Baca bola saja = 26 – 5 – 3 – 6 = 12c) Banyak orang yang membaca hanya satu koran = 11 + 13 + 12 = 36
• 26. • Dari survei terhadap 270 orang pengguna komputer khususnya terhadap sistem operasi didapatkan hasil 64 suka dengan microsoft, 94 suka dengan linux, 58 suka dengan freeBSD, 26 suka dengan microsoft dan linux, 28 suka dengan microsoft dan freeBSD, 22 suka dengan linux dan freeBSD, 14 suka ketiga jenis sistem operasi tersebut. Tentukan:a. Banyaknya pengguna komputer yang menggunakan paling sedikit satu sitem informasi .b. Gambarkan diagram Venn untuk masalah ini,c. Berapa orang yang membaca hanya satu koran.d. Berapa orang yang tidak suka dengan semua jenis sistem operasi yang disebutkan di atas ?